7 equações que governam o seu mundo

O alarme toca. Desligamos o despertador. São 6.30 da manhã…

Sem sair da cama temos seis equações que conduzem a nossa vida. O chip de memória que armazena a hora do relógio não poderia ter sido concebido sem uma equação fundamental da mecânica quântica. Seu tempo foi definido por um sinal de rádio que nunca teríamos sonhado de inventar, se não fosse as quatro equações de James Clerk Maxwell, as equações do eletromagnetismo. E o próprio sinal viaja de acordo com o que é conhecido como a equação de onda.

Vivemos num oceano escondido de equações. Estas estão no trabalho, nos transportes, no sistema financeiro, detecção e prevenção, na saúde e na criminalidade, na comunicação, na alimentação, na água, no aquecimento e na iluminação. Agora vai para o chuveiro e beneficia das equações utilizadas para regular o abastecimento e aquecimento da água. Os  cereais do pequeno almoço vem a partir de culturas que foram criadas com a ajuda de equações estatísticas. Conduze para o trabalho e o desenho aerodinâmico do seu carro está debaixo das equações de Navier-Stokes que descrevem como o ar flui sobre e em torno da viatura. Liga o seu sistema de navegação e é envolvido pela física quântica, novamente, mais as leis de Newton do movimento e da gravidade, que ajudaram a lançar os satélites de geoposicionamento e a definir as suas órbitas. Esses satélites também usam equações geradoras de números aleatórios  dos sinais de temporização, equações trigonométricas para calcular a localização, e da relatividade especial e geral para um rastreamento preciso dos movimentos dos satélites, influenciados pela gravidade da Terra.

Sem as equações, a maioria da nossa tecnologia nunca teria sido inventada. Claro, as invenções importantes como o fogo e a roda surgiram sem qualquer conhecimento matemático. No entanto, sem equações, estariamos presos num mundo medieval.

As equações vão também muito além da tecnologia. Sem elas, não teríamos conhecimento da física que rege as marés, as ondas que quebram na praia, o clima em constante mudança, os movimentos dos planetas, as fusões nucleares que ocorrem nas estrelas, as espirais das galáxias - a vastidão do universo e nosso lugar nele.

Existem milhares de equações importantes. As sete referidas aqui - a equação de onda, quatro equações de Maxwell, a transformada de Fourier e equação de Schrödinger - ilustram como as observações empíricas levaram às equações que usamos tanto na ciência como na vida cotidiana.

A equação de onda

Primeiro, a equação de onda. Vivemos num mundo de ondas. Nossos ouvidos detectam ondas de compressão no ar como o som, e os nossos olhos detectam as ondas de luz. Quando um terremoto atinge uma cidade, a destruição é causada por ondas sísmicas que se deslocam através da Terra.

Matemáticos e cientistas não podiam deixar de pensar sobre as ondas, mas o seu ponto de partida veio das artes: como é que uma corda de violino cria um som? A questão remonta ao antigo culto grego dos pitagóricos, que descobriram que duas sequências do mesmo tipo e tensão teriam comprimentos numa relação simples, tais como 2:1 ou 3:2, e produziam notas que juntas criavam um som extraordinariamente harmonioso. Relações mais complexas eram discordantes e desagradáveis ao ouvido. Foi o matemático suíço Johann Bernoulli, que começou a encontrar o sentido dessas observações. Em 1727, ele considerou que uma corda de violino é um modelo com um grande número de massas pontuais muito próximas e espaçadas, ligadas entre si por molas. Ele usou as leis de Newton para escrever as equações do movimento do sistema, e resolvê-las. A partir das soluções, ele concluiu que a forma mais simples para uma corda vibrante é uma curva sinusoidal. Há outros modos de vibração, bem como curvas sinusoidais em que mais de uma onda se encaixa no comprimento da corda, conhecidos pelos músicos como harmônicos.

Das Ondas para o Wireless

Quase 20 anos depois, Jean Le Rond d’Alembert seguiu um procedimento semelhante, mas focou-se na simplificação das equações de movimento ao invés das suas soluções. O resultado foi uma equação elegante descrevendo como o formato da corda se altera ao longo do tempo. Esta é a equação de onda, e estabelece que a aceleração de qualquer pequeno segmento da corda é proporcional à tensão agindo sobre ela. Isso implica que as ondas cujas frequências não estão em razões simples produzem um ruído desagradável conhecido como “batidas”. Esta é uma razão pela qual as relações numéricas simples dão notas que soam harmoniosamente.

A equação de onda pode ser modificada para lidar com fenómenos mais complexos, confusos, como os terremotos. Versões sofisticadas da equação de onda permitem aos sismólogos detectar o que se passa a centenas de quilómetros abaixo de nossos pés. Eles podem mapear o movimento das placas tectónicas da Terra, causadoras de terremotos e vulcões. O maior prémio nessa área seria uma maneira confiável para prever terremotos e erupções vulcânicas, e muitos dos métodos que estão a ser explorados são apoiados na equação de onda.

As equações de Maxwell

Mas a visão mais influente da equação de onda emergiu do estudo das equações de Maxwell do eletromagnetismo. Em 1820, a maioria das pessoas iluminavam as suas casas com velas e lanternas, enviavam cartas e deslocavam-se em carruagens puxadas por cavalos. Passados 100 anos, as casas e ruas tinham iluminação elétrica, surge o telégrafo permitindo a transmissão de mensagens através dos continentes e as pessoas começaram a conversar entre si por telefone. A comunicação de rádio havia sido demonstrada em laboratórios, e um empresário montou uma fábrica para vender ”wirelesses” para o público.

Esta revolução social e tecnológica foi desencadeada pelas descobertas de dois cientistas. Em cerca de 1830, Michael Faraday estabeleceu a física básica do eletromagnetismo. Trinta anos depois, James Clerk Maxwell embarcou na missão de formular a base matemática para as teorias e experiências de Faraday.

Na época, a maioria dos físicos que trabalhavam em eletricidade e magnetismo estavam à procura de analogias com a gravidade, que eles viam como uma força que atua entre corpos à distância. Faraday tinha uma idéia diferente: para explicar a série de experiências que conduziu em eletricidade e magnetismo, ele postulou que ambos os fenómenos atravessam o espaço, mudam ao longo do tempo e podem ser detectados pelas forças que produzem. Faraday colocou suas teorias em termos de estruturas geométricas, como linhas de força magnética.

Maxwell reformula estas ideias, por analogia com a matemática do fluxo de um fluido. Raciocinou que as linhas de força eram análogas aos caminhos seguidos pelas moléculas num fluido e que a força do campo eléctrico ou magnético era análoga à velocidade do fluido. Em 1864 Maxwell tinha escrito quatro equações para as interações básicas entre os campos elétricos e magnéticos. Duas dessas equações dizem-nos como os campos são criados a partir de cargas. Para o campo magnético, como não há carga magnética, as linhas de campo magnético não começam nem terminam, ou seja, as linhas são como trajetórias fechadas. As outras duas equações descrevem como os campos “circulam” em torno das suas respectivas fontes: o campo magnético “circula” em torno de correntes elétricas e de campos elétricos variantes com o decorrer do tempo, conforme a lei de Ampère com a correção do próprio Maxwell; campos elétricos “circulam” em torno de campos magnéticos que variam com o tempo, conforme a lei de Faraday.

Mas o que Maxwell fez a seguir é que foi surpreendente. Ao realizar algumas manipulações simples das suas equações, conseguiu derivar a equação de onda e deduziu que a luz deve ser uma onda eletromagnética. Isso, por si só, foi uma notícia estupenda, ninguém tinha imaginado tal relação fundamental entre a eletricidade, luz e magnetismo. E havia mais. A luz vem em cores diferentes, correspondentes a diferentes comprimentos de onda. Os comprimentos de onda que vemos estão restringidos pela química dos nossos fotosensores existentes no olho humano. As equações de Maxwell levaram a uma previsão dramática - que ondas eletromagnéticas de todos os comprimentos de onda deveriam existir. Alguns, com comprimentos de onda muito mais longos do que podemos ver, transformariam o mundo: as ondas de rádio.

Em 1887, Heinrich Hertz demonstrou experimentalmente as ondas de rádio, mas deixou de apreciar a sua aplicação mais revolucionária. Se pudesse imprimir um sinal sobre uma onda, poderia falar-se para o mundo. Nikola Tesla, Guglielmo Marconi e outros, transformaram o sonho em realidade, e toda a panóplia de meios de comunicação modernos, de rádio e televisão, radar, ligações em microondas para telemóveis, etc. E tudo surgiu a partir de quatro equações e um par de cálculos curtos. As equações de Maxwell não mudaram apenas o mundo, abriram um novo.

Tão importante quanto o que as equações de Maxwell não descrevem é o que não fazem. Embora as equações revelassem que a luz era uma onda, os físicos logo descobriram que o seu comportamento era, por vezes em desacordo com essa visão: Brilhar a luz num metal e criar eletricidade, num fenómeno chamado de efeito fotoeléctrico. Fazia sentido apenas se a luz se comportasse como uma partícula. Então, seria a luz uma onda ou uma partícula? Na verdade, um pouco de ambos. A matéria foi feita a partir de ondas quânticas, e um grupo coeso de ondas agiram como uma partícula.

A equação de Schrödinger

Em 1927, Erwin Schrödinger escreveu uma equação para ondas quânticas. Encaixava lindamente nas experiências enquanto pintava um retrato de um mundo muito estranho, no qual as partículas fundamentais, como o electrão, não são objectos bem definidos, mas nuvens de probabilidade. Assim, teóricos descreveram todo o tipo de esquisitice quântica, como o gato que está simultaneamente vivo e morto, e universos paralelos.

A mecânica quântica não se limita a esses enigmas filosóficos. Quase todos os aparelhos modernos - computadores, telemóveis, consolas de jogos, carros, frigoríficos, fornos - contêm chips de memória baseado no transistor, cujo funcionamento se baseia na mecânica quântica dos semicondutores. Novas aplicações da mecânica quântica chegam quase semanalmente. Os pontos quânticos - protuberâncias minúsculas de um semicondutor - podem emitir luz de qualquer cor e são utilizados para imagiologia biológica, onde substituem corantes tradicionais, muitas vezes tóxicos. Engenheiros e físicos estão próximos do computador quântico, que pode realizar muitos cálculos diferentes em paralelo.

Os lasers são outra aplicação da mecânica quântica. São usados para ler informações a partir de pequenos buracos ou marcas de CDs, DVDs e discos Blu-ray. Astrônomos usam lasers para medir a distância da Terra à Lua. Há quem defenda ser possível lançar veículos espaciais da Terra usando um poderoso raio laser.

A transformada de Fourier

O capítulo final nesta história vem de uma equação que nos ajuda a entender as ondas. Ela começa em 1807, quando Joseph Fourier desenvolveu uma equação para o fluxo de calor. Ele apresentou um documento sobre o seu estudo na Academia Francesa de Ciências, mas foi rejeitado. Em 1812, a academia teve como tema o Calor no seu prêmio anual. Fourier apresentou um trabalho mais longo, revisto e ganhou.

O aspecto mais intrigante do artigo premiado de Fourier não foi a equação, mas como ele a resolveu. O problema típico era o de encontrar como a temperatura varia ao longo do tempo numa haste fina, dado o perfil de temperatura inicial. Fourier poderia resolver esta equação com facilidade se a variação da temperatura fosse uma onda seno ao longo do seu comprimento, mas não era assim. Logo, ele apresentou um perfil mais complicado como uma combinação de curvas sinusoidais com diferentes comprimentos de onda, resolveu a equação para cada componente da curva de senos, e adicionou estas soluções em conjunto. Fourier afirmou que esse método funcionava para qualquer problema, mesmo onde a temperatura sobe repentinamente de valor. Tudo o que tinha a fazer era somar um número infinito de contribuições a partir de curvas seno.

O resultado é a transformada de Fourier, uma equação que trata um sinal variando no tempo como a soma de uma série de componentes de curvas sinusoidais e calcula as suas amplitudes e frequências.

Hoje, a transformada de Fourier afecta as nossas vidas de inúmeras formas. Por exemplo, podemos usá-lo para analisar o sinal vibratório produzido por um terremoto e para calcular as frequências em que a energia transmitida pelo chão a tremer é maior. Outras aplicações incluem a remoção de ruído de gravações de som antigos, encontrar a estrutura do DNA usando imagens de raios X, melhorar a recepção do rádio e prevenção de vibrações indesejadas em carros. Além disso, há uma que a maioria de nós sem querer tira proveito de cada vez que tira uma fotografia digital.

Se pensar em quanta informação é necessária para representar a cor e o brilho de cada pixel numa imagem digital, vai descobrir que uma câmara digital parece ter no seu cartão de memória cerca de 10 vezes mais dados do que o cartão pode possivelmente conter. As câmaras usam a compressão de dados JPEG, que combina cinco etapas de compressão diferentes. Uma delas é uma versão digital da transformada de Fourier, que trabalha com um sinal que não muda ao longo do tempo, mas através da imagem. A matemática é praticamente idêntica. As outras quatro etapas reduzem os dados ainda mais, para cerca de um décimo do valor original.

Estas são apenas sete das muitas equações que encontramos todos os dias, sem darmos conta delas. Mas o impacto das equações sobre a história vai muito além. A equação verdadeiramente revolucionária pode ter um impacto maior sobre a existência humana que todos os reis e rainhas, cujas maquinações enchem nossos livros de história. Essa equação, acima de tudo, que os físicos e cosmólogos adorariam descobrir, é ​​a teoria de tudo, a que unifica a mecânica quântica e a relatividade.