7 equações que governam o seu mundo
O alarme toca. Desligamos o despertador. São 6.30 da manhã…
Sem
sair da cama temos seis equações que conduzem a nossa vida. O chip de
memória que armazena a hora do relógio não poderia ter sido
concebido sem uma equação fundamental da mecânica quântica. Seu
tempo foi definido por um sinal de rádio que nunca teríamos sonhado de
inventar, se não fosse as quatro equações de James Clerk Maxwell, as
equações do eletromagnetismo. E o próprio sinal viaja de acordo com o
que é conhecido como a equação de onda.
Vivemos
num oceano escondido de equações. Estas estão no trabalho, nos
transportes, no sistema financeiro, detecção e prevenção, na saúde e na
criminalidade, na comunicação, na alimentação, na água, no aquecimento e
na iluminação. Agora vai para o chuveiro e beneficia das equações
utilizadas para regular o abastecimento e aquecimento da água. Os
cereais do pequeno almoço vem a partir de culturas que foram
criadas com a ajuda de equações estatísticas. Conduze para o trabalho e o
desenho aerodinâmico do seu carro está debaixo das equações de
Navier-Stokes que descrevem como o ar flui sobre e em torno da viatura.
Liga o seu sistema de navegação e é envolvido pela física quântica,
novamente, mais as leis de Newton do movimento e da gravidade, que
ajudaram a lançar os satélites de geoposicionamento e a definir as
suas órbitas. Esses satélites também usam equações geradoras de números
aleatórios dos sinais de temporização, equações trigonométricas para
calcular a localização, e da relatividade especial e geral para um
rastreamento preciso dos movimentos dos satélites, influenciados pela
gravidade da Terra.
Sem as equações, a
maioria da nossa tecnologia nunca teria sido inventada. Claro, as
invenções importantes como o fogo e a roda surgiram sem qualquer
conhecimento matemático. No entanto, sem equações, estariamos presos num
mundo medieval.
As equações vão
também muito além da tecnologia. Sem elas, não teríamos conhecimento da
física que rege as marés, as ondas que quebram na praia, o clima em
constante mudança, os movimentos dos planetas, as fusões nucleares que
ocorrem nas estrelas, as espirais das galáxias - a vastidão do universo
e nosso lugar nele.
Existem milhares
de equações importantes. As sete referidas aqui - a equação de
onda, quatro equações de Maxwell, a transformada de Fourier e equação de
Schrödinger - ilustram como as observações empíricas levaram às
equações que usamos tanto na ciência como na vida cotidiana.
A equação de onda
Primeiro, a equação de onda. Vivemos
num mundo de ondas. Nossos ouvidos detectam ondas de compressão no
ar como o som, e os nossos olhos detectam as ondas de luz. Quando um
terremoto atinge uma cidade, a destruição é causada por ondas
sísmicas que se deslocam através da Terra.
Matemáticos
e cientistas não podiam deixar de pensar sobre as ondas, mas o seu
ponto de partida veio das artes: como é que uma corda de violino cria um
som? A questão remonta ao antigo culto grego dos pitagóricos, que
descobriram que duas sequências do mesmo tipo e tensão teriam
comprimentos numa relação simples, tais como 2:1 ou 3:2, e
produziam notas que juntas criavam um som
extraordinariamente harmonioso. Relações mais complexas eram
discordantes e desagradáveis ao ouvido. Foi o matemático
suíço Johann Bernoulli, que começou a encontrar o sentido dessas
observações. Em 1727, ele considerou que uma corda de violino é um
modelo com um grande número de massas pontuais muito próximas e
espaçadas, ligadas entre si por molas. Ele usou as leis de Newton para
escrever as equações do movimento do sistema, e resolvê-las. A partir
das soluções, ele concluiu que a forma mais simples para uma corda
vibrante é uma curva sinusoidal. Há outros modos de vibração, bem como
curvas sinusoidais em que mais de uma onda se encaixa no comprimento da
corda, conhecidos pelos músicos como harmônicos.
Das Ondas para o Wireless
Quase
20 anos depois, Jean Le Rond d’Alembert seguiu um procedimento
semelhante, mas focou-se na simplificação das equações de movimento ao
invés das suas soluções. O resultado
foi uma equação elegante descrevendo como o formato da corda se altera
ao longo do tempo. Esta é a equação de onda, e estabelece que a
aceleração de qualquer pequeno segmento da corda é proporcional à
tensão agindo sobre ela. Isso implica que as ondas cujas frequências não
estão em razões simples produzem um ruído desagradável conhecido como
“batidas”. Esta é uma razão pela qual as relações numéricas simples dão
notas que soam harmoniosamente.
A
equação de onda pode ser modificada para lidar com fenómenos mais
complexos, confusos, como os terremotos. Versões sofisticadas da equação
de onda permitem aos sismólogos detectar o que se passa a centenas de
quilómetros abaixo de nossos pés. Eles podem mapear o movimento das
placas tectónicas da Terra, causadoras de terremotos e vulcões. O maior
prémio nessa área seria uma maneira confiável para prever terremotos e
erupções vulcânicas, e muitos dos métodos que estão a ser explorados são
apoiados na equação de onda.
As equações de Maxwell
Mas a visão mais influente da equação de onda emergiu do estudo das equações de Maxwell do
eletromagnetismo. Em 1820, a maioria das pessoas iluminavam as
suas casas com velas e lanternas, enviavam cartas e deslocavam-se em
carruagens puxadas por cavalos. Passados 100 anos, as casas e ruas
tinham iluminação elétrica, surge o telégrafo permitindo a transmissão
de mensagens através dos continentes e as pessoas começaram a conversar
entre si por telefone. A comunicação de rádio havia sido demonstrada em
laboratórios, e um empresário montou uma fábrica para
vender ”wirelesses” para o público.
Esta
revolução social e tecnológica foi desencadeada pelas
descobertas de dois cientistas. Em cerca
de 1830, Michael Faraday estabeleceu a física básica do
eletromagnetismo. Trinta anos depois, James Clerk Maxwell embarcou na
missão de formular a base matemática para as teorias e experiências de
Faraday.
Na
época, a maioria dos físicos que trabalhavam em eletricidade e
magnetismo estavam à procura de analogias com a gravidade, que eles
viam como uma força que atua entre corpos à distância. Faraday tinha uma
idéia diferente: para explicar a série de experiências que
conduziu em eletricidade e magnetismo, ele postulou que ambos
os fenómenos atravessam o espaço, mudam ao longo do tempo e podem ser
detectados pelas forças que produzem. Faraday colocou suas teorias em
termos de estruturas geométricas, como linhas de força magnética.
Maxwell reformula
estas ideias, por analogia com a matemática do fluxo de um
fluido. Raciocinou que as linhas de força eram análogas aos
caminhos seguidos pelas moléculas num fluido e que a força do
campo eléctrico ou magnético era análoga à velocidade do fluido. Em
1864 Maxwell tinha escrito quatro equações para as interações básicas
entre os campos elétricos e magnéticos. Duas dessas equações dizem-nos
como os campos são criados a partir de cargas. Para o campo magnético,
como não há carga magnética, as linhas de campo magnético não começam
nem terminam, ou seja, as linhas são como trajetórias fechadas. As
outras duas equações descrevem como os campos “circulam” em torno das
suas respectivas fontes: o campo magnético “circula” em torno de
correntes elétricas e de campos elétricos variantes com o decorrer do
tempo, conforme a lei de Ampère com
a correção do próprio Maxwell; campos elétricos “circulam” em torno de
campos magnéticos que variam com o tempo, conforme a lei de Faraday.
Mas
o que Maxwell fez a seguir é que foi surpreendente. Ao realizar algumas
manipulações simples das suas equações, conseguiu derivar a equação de
onda e deduziu que a luz deve ser uma onda eletromagnética. Isso, por si
só, foi uma notícia estupenda, ninguém tinha imaginado tal
relação fundamental entre a eletricidade, luz e magnetismo. E havia
mais. A luz vem em cores diferentes, correspondentes a diferentes
comprimentos de onda. Os comprimentos de onda que vemos
estão restringidos pela química dos nossos fotosensores existentes no
olho humano. As equações de Maxwell levaram a uma
previsão dramática - que ondas eletromagnéticas de todos os comprimentos
de onda deveriam existir. Alguns, com comprimentos de onda muito mais
longos do que podemos ver, transformariam o mundo: as ondas de rádio.
Em
1887, Heinrich Hertz demonstrou experimentalmente as ondas de rádio,
mas deixou de apreciar a sua aplicação mais revolucionária. Se pudesse
imprimir um sinal sobre uma onda, poderia falar-se para o mundo.
Nikola Tesla, Guglielmo Marconi e outros, transformaram o sonho em
realidade, e toda a panóplia de meios de comunicação modernos, de rádio
e televisão, radar, ligações em microondas para telemóveis, etc. E
tudo surgiu a partir de quatro equações e um par de cálculos curtos. As
equações de Maxwell não mudaram apenas o mundo, abriram um novo.
Tão
importante quanto o que as equações de Maxwell não descrevem é o que
não fazem. Embora as equações revelassem que a luz era uma onda, os
físicos logo descobriram que o seu comportamento era, por vezes em
desacordo com essa visão: Brilhar a luz num metal e criar eletricidade,
num fenómeno chamado de efeito fotoeléctrico. Fazia sentido apenas se a
luz se comportasse como uma partícula. Então, seria a luz uma onda ou
uma partícula? Na verdade, um pouco de ambos. A matéria foi feita a
partir de ondas quânticas, e um grupo coeso de ondas agiram como uma
partícula.
A equação de Schrödinger
Em 1927, Erwin Schrödinger escreveu uma equação para ondas quânticas.
Encaixava lindamente nas experiências enquanto pintava um retrato de
um mundo muito estranho, no qual as partículas fundamentais, como o
electrão, não são objectos bem definidos, mas nuvens de probabilidade.
Assim, teóricos descreveram todo o tipo de esquisitice quântica, como o
gato que está simultaneamente vivo e morto, e universos paralelos.
A
mecânica quântica não se limita a esses enigmas filosóficos. Quase
todos os aparelhos modernos - computadores, telemóveis, consolas de
jogos, carros, frigoríficos, fornos - contêm chips de memória baseado
no transistor, cujo funcionamento se baseia na mecânica quântica dos
semicondutores. Novas aplicações da mecânica quântica chegam quase
semanalmente. Os pontos quânticos - protuberâncias minúsculas
de um semicondutor - podem emitir luz de qualquer cor e são utilizados
para imagiologia biológica, onde substituem corantes tradicionais,
muitas vezes tóxicos. Engenheiros e físicos estão próximos do computador
quântico, que pode realizar muitos cálculos diferentes em paralelo.
Os
lasers são outra aplicação da mecânica quântica. São usados para ler
informações a partir de pequenos buracos ou marcas de CDs, DVDs e discos
Blu-ray. Astrônomos usam lasers para medir a distância da Terra à Lua.
Há quem defenda ser possível lançar veículos espaciais da Terra usando
um poderoso raio laser.
A transformada de Fourier
O
capítulo final nesta história vem de uma equação que nos ajuda a
entender as ondas. Ela começa em 1807,
quando Joseph Fourier desenvolveu uma equação para o fluxo de calor. Ele
apresentou um documento sobre o seu estudo na Academia Francesa de
Ciências, mas foi rejeitado. Em 1812, a academia teve como tema o Calor
no seu prêmio anual. Fourier apresentou um trabalho mais longo, revisto e
ganhou.
O
aspecto mais intrigante do artigo premiado de Fourier não foi
a equação, mas como ele a resolveu. O problema típico era o de
encontrar como a temperatura varia ao longo do tempo numa haste
fina, dado o perfil de temperatura inicial. Fourier poderia
resolver esta equação com facilidade se a variação da temperatura fosse
uma onda seno ao longo do seu comprimento, mas não era assim. Logo, ele
apresentou um perfil mais complicado como uma combinação de
curvas sinusoidais com diferentes comprimentos de onda, resolveu a
equação para cada componente da curva de senos, e adicionou estas
soluções em conjunto. Fourier afirmou que esse método funcionava para
qualquer problema, mesmo onde a temperatura sobe repentinamente de
valor. Tudo o que tinha a fazer era somar um número infinito
de contribuições a partir de curvas seno.
O resultado é a transformada de Fourier, uma equação
que trata um sinal variando no tempo como a soma de uma série de
componentes de curvas sinusoidais e calcula as suas amplitudes e
frequências.
Hoje,
a transformada de Fourier afecta as nossas vidas de inúmeras
formas. Por exemplo, podemos usá-lo para analisar o
sinal vibratório produzido por um terremoto e para calcular as
frequências em que a energia transmitida pelo chão a tremer é
maior. Outras aplicações incluem a remoção de ruído de gravações de
som antigos, encontrar a estrutura do DNA usando imagens de raios X,
melhorar a recepção do rádio e prevenção de vibrações indesejadas em
carros. Além disso, há uma que a maioria de nós sem querer tira proveito
de cada vez que tira uma fotografia digital.
Se
pensar em quanta informação é necessária para representar a cor e o
brilho de cada pixel numa imagem digital, vai descobrir que uma câmara
digital parece ter no seu cartão de memória cerca de 10 vezes mais dados
do que o cartão pode possivelmente conter. As câmaras usam a compressão
de dados JPEG, que combina cinco etapas de compressão diferentes. Uma
delas é uma versão digital da transformada de Fourier, que trabalha
com um sinal que não muda ao longo do tempo, mas através da imagem. A
matemática é praticamente idêntica. As outras quatro etapas reduzem os
dados ainda mais, para cerca de um décimo do valor original.
Estas
são apenas sete das muitas equações que encontramos todos os dias, sem
darmos conta delas. Mas o impacto das equações sobre a história vai
muito além. A equação verdadeiramente revolucionária pode ter um impacto
maior sobre a existência humana que todos os reis e rainhas,
cujas maquinações enchem nossos livros de história. Essa equação, acima
de tudo, que os físicos e cosmólogos adorariam descobrir, é
a teoria de tudo, a que unifica a mecânica quântica e a relatividade.
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